z逆变换的定义

对于 z 变换的定义式为

则 z 逆变换由 求其原序列 的定义式为

从定义上看，z 逆变换是一个围线积分，用积分求解不太现实，一般采用下面三种方法间接求 z 逆变换

幂级数展开法

幂级数展开法是根据 变换的定义式将 变换展开成下面形式的 幂级数:

那么序列 就是 的系数。

对于这种有理多项式，可以采用长除法检验分子是否为分母的因式

部分因式分解法

在离散信号分析中,一般像函数 可以写为 的有理分式

根据代数学，只有真分式 才能展开为部分分式，为此，当 时 便是真分式。为了规范化，均展开 ，然后再乘以 得 的部分分式展开式

然后通过常见信号的 z 逆变换以及 z 变换的性质去求逆变换。

例如，若 ，则 （常用 z 逆变换）

而 （z 变换的性质）

需要注意的是  的收敛域

由 的收敛域可知 为右边序列

由 的收敛域可知 为左边序列，对于左边序列的变换公式和右边序列不同

此时

由 的收敛域 可知极点 2 对应的是左边序列， 可知极点 1 对应的是右边序列

所用公式

所用公式

由z域尺度变换特性得

留数法

首先理解零极点的概念，对于刚刚提到的

  1. 令分子 的方程的解称为零点
  2. 令分母 的方程的解称为极点
  3. 由形如 、 的得到的零极点称为 重零（极）点
单极点与多重极点的求法

  1. 具有单极点 。

  2. 在 处具有 重极点。重极点的留数为

右边序列的留数法

则:

先求 的极点:

令分母 ，解得极点为:

由收敛域 可知序列

此处 如何得来？

当 时，我们可以知道实际上位于分子的 这个时候是会跑到分母上变成 阶极点。 阶极点的留数不好算，根据留数辅助定理，改算围线外极点留数，但是因为 此时均位于围线内，围线外无极点，故

所以最后在合算的时候需要乘以

对应的留数为:

去极点代极点

对应的留数为:

由于两个极点都满足

  1. 当 时

    令 分母等于零, 得到三个极点:

    对应的留数为:

    对应的留数为:

    对应的留数为:

    所以在 时序列为

  2. 当 时

    令 分母等于零, 得到2个极点:

    对应的留数为:

    对应的留数为:

    所以在 时序列为

    则所求序列为

    在 时序列为

    将各极点在 时对应的样值合并，序列等效于

左边序列的留数法

则:

还是这个题

我改了一下收敛域，此时刚好与上题相反， 时