求z逆变换的三种方法

z逆变换的定义

对于 z 变换的定义式为

则 z 逆变换由求其原序列的定义式为

从定义上看，z 逆变换是一个围线积分，用积分求解不太现实，一般采用下面三种方法间接求 z 逆变换

幂级数展开法是根据变换的定义式将变换展开成下面形式的幂级数:

那么序列就是的系数。

对于这种有理多项式，可以采用长除法检验分子是否为分母的因式

在离散信号分析中,一般像函数可以写为的有理分式

根据代数学，只有真分式才能展开为部分分式，为此，当时便是真分式。为了规范化，均展开，然后再乘以得的部分分式展开式

然后通过常见信号的 z 逆变换以及 z 变换的性质去求逆变换。

例如，若，则（常用 z 逆变换）

而（z 变换的性质）

需要注意的是的收敛域

由的收敛域可知为右边序列

由的收敛域可知为左边序列，对于左边序列的变换公式和右边序列不同

此时

由的收敛域可知极点 2 对应的是左边序列，可知极点 1 对应的是右边序列

所用公式

由z域尺度变换特性得

首先理解零极点的概念，对于刚刚提到的

单极点与多重极点的求法

则:

先求的极点:

令分母，解得极点为:

由收敛域可知序列

此处如何得来？
当时，我们可以知道实际上位于分子的这个时候是会跑到分母上变成阶极点。阶极点的留数不好算，根据留数辅助定理，改算围线外极点留数，但是因为此时均位于围线内，围线外无极点，故
所以最后在合算的时候需要乘以

对应的留数为:

$去极点代极点$

对应的留数为:

由于两个极点都满足

则:

还是这个题

我改了一下收敛域，此时刚好与上题相反，时，时与上面结果相反，差别是这个时候最后结果是乘以

我们解析一下，实际上同样的分和两种情况

当时，我们知道此时的围线位于，即围线内含有这些极点，我们求这些极点的留数，因为这是在时成立

当时，此时围线内不仅包含这些极点，还包含阶极点 0 。根据留数辅助定理，我们改求围线外极点留数即

最终合起来就是

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